Barnsleyho kapradí

Barnsleyho kapradí je fraktál pojmenovaný po britském matematikovi Michaelu Barnsleym, který jako první popsal tento fraktál ve své knize Fractals Everywhere.^[1]

Toto kapradí je jedním ze základních příkladů soběpodobnosti, což znamená že se jedná o matematicky generovaný vzor, který může být reprodukovatelný v každém zvětšení nebo zmenšení. Stejně jako Sierpinského trojúhelník ukazuje Barnsleyho kapradí, jak graficky krásné struktury mohou vzniknout použitím matematických vzorců.

Barnsleyho kapradí používá čtyři afinní transformace. Rovnice pro každou z transformací je následující: ${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}}$.

Barnsleyho fraktál pro sleziník netíkovitý lze získat z následujících transformací:

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.00&\ 0.00\ \\0.00&\ 0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}}$ s pravděpodobnostním faktorem ${\displaystyle p=0.01}$

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.85&\ 0.04\ \\-0.04&\ 0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}}$ s pravděpodobnostním faktorem ${\displaystyle p=0.85}$

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.20&\ -0.26\ \\0.23&\ 0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\1.60\end{bmatrix}}}$ s pravděpodobnostním faktorem ${\displaystyle p=0.07}$

${\displaystyle f(x,y)={\begin{bmatrix}\ -0.15&\ 0.28\ \\0.26&\ 0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.00\\0.44\end{bmatrix}}}$ s pravděpodobnostním faktorem ${\displaystyle p=0.07}$.

• 
  Body, které vykresluje první afinní funkce. Když  parametr "a" první funkce není nulový, vznikne místo kmene opět malá kapradina
• 
  Druhá funkce při opakovaném volání vytváří jednotlivá patra kapradiny.
• 
  Volání třetí funkce vykresluje levý nejnižší list, který pak volání druhé funkce transponuje do vyšších pater.
• 
  Volání čtvrté funkce vykresluje pravý nejnižší list, který pak volání druhé funkce transponuje do vyšších pater.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Barnsleyho kapradí na Wikimedia Commons

• Barnsley fern - Kapradina Barnsleyova (Jeroným Klimeš)