Boltzmannova rovnice

Boltzmannova rovnice, známá také jako Boltzmannova transportní rovnice, zavedená Ludwigem Boltzmannem, popisuje statistické rozdělení jedné částice v tekutině. Je to důležitá rovnice nerovnovážné statistické mechaniky, oblasti statistické mechaniky, která se zabývá systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy; např. v přítomnosti teplotního gradientu nebo elektrického pole. Boltzmannova rovnice se používá ke studiu schopnosti tekutiny transportovat fyzikální veličiny jako teplo a náboj, a tedy k odvození transportních vlastností, např. elektrické vodivosti, Hallovy vodivosti, viskozity a tepelné vodivosti.

Boltzmannova rovnice je rovnice pro časový vývoj rozdělovací funkce ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)}$ v jednočásticovém fázovém prostoru, kde ${\displaystyle \mathbf {x} }$ je poloha a ${\displaystyle \mathbf {p} }$ je hybnost. Rozdělení je definováno tak, že

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,{\mathrm {d} }\mathbf {x} \,{\mathrm {d} }\mathbf {p} }$

je počet částic, které se v čase ${\displaystyle t}$ nacházejí v prostorovém elementu ${\displaystyle {\mathrm {d} }^{3}x}$ v okolí ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a jejich hybnost je v intervalu ${\displaystyle {\mathrm {d} }^{3}p}$ v okolí ${\displaystyle \mathbf {p} }$.^[1]

Působí-li na částice popsané ${\displaystyle f}$ vnější síla ${\displaystyle \mathbf {F} }$, musí ${\displaystyle f}$, za předpokladu neexistence srážek, splňovat

${\displaystyle f\left(\mathbf {x} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\,{\mathrm {d} }t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \,{\mathrm {d} }t,t+{\mathrm {d} }t\right)\,{\mathrm {d} }\mathbf {x} \,{\mathrm {d} }\mathbf {p} =f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,{\mathrm {d} }\mathbf {x} \,{\mathrm {d} }\mathbf {p} ,}$

což znamená, že mají-li nějaké částice v čase ${\displaystyle t}$ souřadnici ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a hybnost ${\displaystyle \mathbf {p} }$, v čase ${\displaystyle t+\mathrm {d} t}$ budou (všechny) v ${\displaystyle \mathbf {x} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\mathrm {d} t}$, s hybností ${\displaystyle \mathbf {p} +\mathbf {F} \mathrm {d} t}$.

Protože však ke srážkám dochází, tak se hustota částic v elementu fázového prostoru ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} }$ mění.

${\displaystyle f\left(\mathbf {x} +{\frac {\mathbf {p} }{m}}\mathrm {d} t,\mathbf {p} +\mathbf {F} \mathrm {d} t,t+\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\mathrm {d} \mathbf {p} -f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t){\mathrm {d} }\mathbf {x} \,{\mathrm {d} }\mathbf {p} =\left.{\frac {\partial f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }\,{\mathrm {d} }\mathbf {x} \,{\mathrm {d} }\mathbf {p} \,\mathrm {d} t.}$

Vydělením rovnice ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} \,\mathrm {d} \mathbf {p} \,\mathrm {d} t}$ vznikne v limitě Boltzmannova rovnice

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }.}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ je síla působící mezi částicemi v tekutině a ${\displaystyle m}$ je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice popisuje efekt srážek mezi částicemi; je-li roven nule, částice se nesrážejí. Bezsrážková Boltzmannova rovnice je často chybně nazývána Liouvillova rovnice (Liouvillova rovnice je N-částicová rovnice).

Výše uvedená Boltzmannova rovnice nemá velký praktický význam, neboť nechává srážkový člen nespecifikovaný. Klíčová myšlenka použitá Boltzmannem byla určit srážkový člen výhradně ze srážek dvou částic, o kterých se předpokládá, že před srážkou jsou nekorelované. Tento předpoklad byl Boltzmannem nazýván 'Stosszahl Ansatz', a je také znám jako předpoklad molekulárního chaosu. Za tohoto předpokladu lze srážkový člen psát jako integrál v hybnostním prostoru přes součin jednočásticových rozdělovacích funkcí:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=\int \!\!\!\int g(\mathbf {p-p'} ,\mathbf {q} )\left[f(\mathbf {x} ,\mathbf {p+q} ,t)f(\mathbf {x} ,\mathbf {p'-q} ,t)-f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)f(\mathbf {x} ,\mathbf {p'} ,t)\right]\,{\mathrm {d} }\mathbf {p'} \,{\mathrm {d} }\mathbf {q} .}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boltzmann equation na anglické Wikipedii.