Cramérova–Woldova věta

Cramérova–Woldova věta je matematická věta v teorii míry, která říká, že Borelovská pravděpodobnostní míra na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ je jednoznačně dána souhrnem svých jednorozměrných projekcí. Věta se používá pro důkaz tvrzení o sdružených konvergencích. Věta je pojmenovaná po Haraldu Cramérovi a Hermanu Ole Andreasu Woldovi.

Nechť

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{n1},\dots ,X_{nk})}$

a

${\displaystyle \;{\overline {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$

jsou náhodné vektory dimenze k. Pak ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ konverguje v rozdělení k ${\displaystyle {\overline {X}}}$ právě tehdy, když:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{ni}{\overset {D}{\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}}\sum _{i=1}^{k}t_{i}X_{i}.}$

pro každé ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$, neboli pokud každá pevná lineární kombinace souřadnic ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ konverguje v rozdělení k odpovídající lineární kombinaci souřadnic ${\displaystyle {\overline {X}}}$.^[1]

Pokud ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ nabývá hodnot v ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{k}}$, pak tvrzení platí také pro ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} _{+}^{k}}$.^[2]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cramér–Wold theorem na anglické Wikipedii. Tento článek vychází z článku Cramér-Wold theorem na internetové encyklopedii PlanetMath, která má licenci typu Creative Commons.

• KALLENBERG, Olav, 2002. Foundations of modern probability. 2. vyd. New York: Springer. Dostupné online. ISBN 0-387-94957-7. OCLC 46937587 
• BILLINGSLEY, Patrick, 1995. Probability and Measure. 3. vyd. [s.l.]: John Wiley & Sons. Dostupné online. ISBN 978-0-471-00710-4. 
• CRAMÉR, Harald; WOLD, Herman. Some Theorems on Distribution Functions. Journal of the London Mathematical Society. 1936, roč. 11, čís. 4, s. 290–294. doi:10.1112/jlms/s1-11.4.290. 

• Projekt Euclid: When is a probability measure determined by infinitely many projections? „Kdy je pravděpodobnostní míra určena nekonečně mnoha projekcemi?“