Dělení polynomu polynomem

Dělení polynomu polynomem se zbytkem je algoritmus dělení polynomu ${\displaystyle f(x)}$ polynomem ${\displaystyle g(x)}$, kde stupeň ${\displaystyle g(x)}$ je stejný nebo menší než stupeň ${\displaystyle f(x)}$. Algoritmus je podobný algoritmu dělení se zbytkem.

Mějme dva polynomy ${\displaystyle f(x)}$ a ${\displaystyle g(x)}$, kde ${\displaystyle g(x)}$ je nenulový. Pak existují polynomy ${\displaystyle r(x)}$ a ${\displaystyle z(x)}$ takové, že

${\displaystyle f(x)=r(x)g(x)+z(x)}$ a ${\displaystyle st(z)<st(g)}$.

Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně. Polynomu ${\displaystyle r(x)}$ se říká částečný podíl, polynom ${\displaystyle z(x)}$ je zbytek při dělení polynomu ${\displaystyle f(x)}$ polynomem ${\displaystyle g(x)}$^[1].

Stupeň nulového polynomu je roven -1, stupeň nenulového polynomu je roven největšímu ${\displaystyle n}$ takovému, že ${\displaystyle a_{n}}$ je nenulové. Stupeň polynomu ${\displaystyle f(x)}$ značíme ${\displaystyle st(f)}$^[1].

Algoritmus pro výpočet podílu a zbytku pracuje podobně jako algoritmus pro dělení čísel zapsaných v nějaké soustavě: postupně se dělí nejvyšší člen dělence, vypočítává se prozatímní zbytek a postup se pro něj opakuje, dokud se buď nezastavíme u nejmenšího členu, kde dělení dává smysl, nebo nenajdeme výsledek s nulovým zbytkem.

Ukažme si například, že

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}.}$

Částečný podíl a zbytek po dělení lze nalézt v průběhu provádění následujících kroků:

1. Vydělíme první člen prvního polynomu prvním členem druhého polynomu, umístíme výsledek pod čarou ${\displaystyle \left(x^{3}/x=x^{2}\right)}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}}$

2. Vynásobíme dočasný výsledek s dělitelem. Zapíšeme výsledek pod první polynom ${\displaystyle \left(x^{2}\cdot \left(x-3\right)=x^{3}-3x^{2}\right)}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}}$

3. Odečteme získaný výsledek z kroku 2 od celého prvního polynomu, zapíšeme výsledek pod čarou ${\displaystyle \left(x^{3}-12x^{2}+0x-42-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-9x^{2}+0x-42\right)}$.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}}$

4. Opakujeme všechny předchozí kroky používajíce jako dělenec výraz pod čarou.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}}$

5. Opakujeme krok 4.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}}$

6. Algoritmus zde končí.

Znamená to, že polynom ${\displaystyle r(x)=x^{2}-9x-27}$ je částečný podíl a ${\displaystyle z(x)=-123}$ je zbytek po dělení^[2].

Jako alternativa se dá použít Hornerova schématu, které je efektivnější.

Jestliže zbytek při dělení polynomu ${\displaystyle f(x)}$ polynomem ${\displaystyle g(x)}$ je nulový polynom, říkáme, že polynom ${\displaystyle g(x)}$ dělí polynom ${\displaystyle f(x)}$, nebo že polynom ${\displaystyle f(x)}$ je dělitelný polynomem ${\displaystyle g(x)}$, nebo také, že polynom ${\displaystyle g(x)}$ je dělitelem polynomu ${\displaystyle f(x)}$^[1].

Prvek ${\displaystyle a}$ se nazývá kořen polynomu ${\displaystyle f(x)}$, jestliže platí ${\displaystyle f(a)=0}$. Prvek a je kořenem polynomu ${\displaystyle f(x)}$ právě tehdy, když polynom ${\displaystyle (x-a)}$ dělí polynom ${\displaystyle f(x)}$^[1].

Algoritmus se používá například při integrování racionálních lomených funkcí, když se počítá rozklad na parciální zlomky.