Kofinál

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ budou označovat libovolná ordinální čísla a ${\displaystyle \gamma ,\,\delta }$ budou označovat vždy limitní ordinály.

Řekneme, že množina ${\displaystyle A\subseteq \gamma }$ je kofinální podmnožinou ${\displaystyle \gamma }$, existuje-li pro každé ${\displaystyle \alpha \in \gamma }$ takové ${\displaystyle \beta \in A}$, že ${\displaystyle \alpha \,\leq \,\beta }$. Říkáme také, že A je kofinální s ${\displaystyle \gamma }$.

Například

• množina ${\displaystyle A=\{\omega +\alpha ;\alpha \in \omega \}}$ je kofinální podmnožina ordinálu ${\displaystyle \omega \,+\,\omega }$.
• množina ${\displaystyle A=\{\delta \cdot \alpha +\alpha ;\alpha \in \delta \}}$ je kofinální podmnožina ordinálu ${\displaystyle \delta \cdot \delta }$.
• množina ${\displaystyle A=\{\aleph _{\alpha };\alpha \in \gamma \}}$ je kofinální podmnožina ordinálu ${\displaystyle \aleph _{\gamma }}$ pro každé ${\displaystyle \gamma \,>\,\omega }$.

Kofinálem limitního ordinálu ${\displaystyle \gamma }$ rozumíme nejmenší ordinál ${\displaystyle \alpha }$ takový, že existuje množina ${\displaystyle A\subseteq \gamma }$ kofinální s ${\displaystyle \gamma }$, jejímž ordinálním typem je ${\displaystyle \alpha }$ (tj. A je ${\displaystyle \in }$-izomorfní s ${\displaystyle \alpha }$). Kofinál limitního ordinálu ${\displaystyle \gamma }$ se značí ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$.

Kofinalitou ${\displaystyle \gamma }$ rozumíme mohutnost (kardinalitu) ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$. Lze ukázat, že pro každé ${\displaystyle \gamma }$ je ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$ kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

• ${\displaystyle cf(\omega +\omega )\,=\,\omega }$
• ${\displaystyle cf(\delta \cdot \delta )=\delta }$
• ${\displaystyle cf(\aleph _{\gamma })\,=\,cf(\gamma )}$ pro každé ${\displaystyle \gamma \,>\,\omega }$

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

• Pro každý limitní ordinál ${\displaystyle \gamma }$ platí ${\displaystyle \omega \,\leq \,cf(\gamma )\,\leq \,\gamma }$
• Pro každý limitní ordinál ${\displaystyle \gamma }$ platí ${\displaystyle cf(cf(\gamma ))\,=\,cf(\gamma )}$.
• Pro všechna ${\displaystyle \gamma }$ je ${\displaystyle \,cf(\gamma )}$ kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

• Pro každý nekonečný kardinál ${\displaystyle \kappa }$ platí ${\displaystyle \kappa \,<\,\kappa ^{cf(\kappa )}}$.

• regulární ordinál
• singulární ordinál