Komplexně sdružená matice

V matematice je komplexně sdružená matice,^[1] která vzniká záměnou všech prvků dané komplexní matice za komplexně sdružená čísla. Zobrazení, které přiřazuje matici její komplexně sdruženou matici, je vždy bijektivní, lineární a je involucí. Mnoho parametrů komplexně sdružených matic, jako je stopa, determinant a vlastní čísla, jsou komplexně sdružené s odpovídajícími parametry výchozí matice.

Komplexně sdružená matice se například používá při definici hermitovské transpozice, která vzniká komplexním sdružením a transpozicí dané matice. Kromě toho se komplexně sdružená matice používá také při definici konjugované podobnosti matic.

Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ komplexní matice

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\dots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m,1}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}$

pak odpovídající komplexně sdružená matice ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {A}}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ je definovaná předpisem

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {A}}}={\begin{pmatrix}{\bar {a}}_{1,1}&\dots &{\bar {a}}_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{m,1}&\dots &{\bar {a}}_{m,n}\end{pmatrix}}}$

Někdy se komplexně sdružená matice značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\ast }}$, ačkoli tento symbol bývá užíván také pro hermitovskou transpozicí.

Komplexně sdružená matice k matici:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2+\mathrm {i} &3-2\mathrm {i} \\4i&-5&-6-3\mathrm {i} \end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 3}}$

je matice:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {A}}}={\begin{pmatrix}1&2-\mathrm {i} &3+2\mathrm {i} \\-4\mathrm {i} &-5&-6+3\mathrm {i} \end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{2\times 3}}$

Komplexně sdružená matice ke komplexní matici s reálnými prvky se shoduje s výchozí maticí.

Pro všechny matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}\in \mathbb {C} ^{n\times k}}$ a všechny skaláry ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ platí:

${\displaystyle {\overline {z\cdot {\boldsymbol {A}}}}={\bar {z}}\cdot {\bar {\boldsymbol {A}}}}$

${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}}={\bar {\boldsymbol {A}}}+{\bar {\boldsymbol {B}}}}$

${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {C}}}}={\bar {\boldsymbol {A}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {C}}}}$

${\displaystyle {\bar {\bar {\boldsymbol {A}}}}={\boldsymbol {A}}}$

Uvedené identity vyplývají přímo z vlastností komplexně sdružených čísel.

Zobrazení na množině ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$, které matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ přiřadí její komplexně sdruženou matici ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {A}}}}$ má následující vlastnosti:

• je vždy bijektivní, lineární a je involucí,
• je automorfismem prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$ a také obecné lineární grupy ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ i maticového okruhu ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$.

Komplexně sdružená matice k transpozici matice se rovná transpozici komplexně sdružené matice:

${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}=\left({\bar {\boldsymbol {A}}}\right)^{\mathsf {T}}}$

Uvedená matice se nazývá hermitovskou transpozicí matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a obvykle se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$.

Komplexně sdružená matice k regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ je regulární. Pro komplexně sdruženou matici k inverzi regulární matice platí, že je rovna inverzi komplexně sdružené matice:

${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {A}}^{-1}}}=\left({\bar {\boldsymbol {A}}}\right)^{-1}}$

Pro maticovou exponenciálu komplexně sdružené matice k čtvercové matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ platí:

${\displaystyle \exp({\bar {\boldsymbol {A}}})={\overline {\exp {\boldsymbol {A}}}}}$

Analogický vztah platí pro maticový logaritmus komplexně sdružené matice k regulární komplexní matici:

${\displaystyle \ln({\bar {\boldsymbol {A}}})={\overline {\ln {\boldsymbol {A}}}}}$

Pro hodnost komplexně sdružené matice k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ platí:

${\displaystyle \operatorname {rank} {\bar {\boldsymbol {A}}}=\operatorname {rank} {\boldsymbol {A}}}$

Pro stopu komplexně sdružené matice k čtvercové matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ platí:

${\displaystyle \operatorname {tr} {\bar {\boldsymbol {A}}}={\overline {\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}}}$

Pro determinant komplexně sdružené matice k čtvercové matice platí:

${\displaystyle \det {\bar {\boldsymbol {A}}}={\overline {\det {\boldsymbol {A}}}}}$

Pro charakteristický polynom ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {A}}}}$ z toho vyplývá:

${\displaystyle \chi _{\bar {\boldsymbol {A}}}(\lambda )=\det(\lambda \mathbf {I} -{\bar {\boldsymbol {A}}})=\det {\overline {({\bar {\lambda }}\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})}}={\overline {\det({\bar {\lambda }}\mathbf {I} -{\boldsymbol {A}})}}={\overline {\chi _{\boldsymbol {A}}({\bar {\lambda }})}}}$ .

Vlastní čísla ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {A}}}}$ jsou komplexně sdružená k vlastním číslům matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Příslušné vlastní vektory mohou být vybrány tak, že jsou komplexně sdružené k vlastním vektorům původní matice.

Pro Frobeniovu normu a spektrální normu komplexně sdružené matice k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ platí ${\displaystyle \|{\bar {\boldsymbol {A}}}\|_{F}=\|{\boldsymbol {A}}\|_{F}}$ a ${\displaystyle \|{\bar {\boldsymbol {A}}}\|_{2}=\|{\boldsymbol {A}}\|_{2}}$.

To platí také pro normy řádkových součtů a sloupcových součtů komplexně sdružené matice ${\displaystyle \|{\bar {\boldsymbol {A}}}\|_{1}=\|{\boldsymbol {A}}\|_{1}}$ a ${\displaystyle \|{\bar {\boldsymbol {A}}}\|_{\infty }=\|{\boldsymbol {A}}\|_{\infty }}$.

Tyto maticové normy jsou proto zachovány při komplexním sdružení.

Komplexně sdružené matice se v lineární algebře používají mimo jiné v následujících definicích:

• Hermitovská transpozice je matice, která vzniká komplexním sdružením a transpozicí dané komplexní matice: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}=({\bar {\boldsymbol {A}}})^{\mathsf {T}}}$
• Hermitovská matice je komplexní čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná její komplexně sdružené matici: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\bar {\boldsymbol {A}}}}$
• Šikmá hermitovská matice je komplexní čtvercová matice, jejíž transpozice je rovna záporu jejího komplexně sdružené matici: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}=-{\bar {\boldsymbol {A}}}}$
• Komplexní matice je reálná, právě když je rovna své komplexně sdružené matice: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\bar {\boldsymbol {A}}}}$

Pro komplexní číslo ${\displaystyle z}$ je hodnota součinu ${\displaystyle z{\bar {z}}}$ rovna druhé mocnině absolutní hodnoty čísla ${\displaystyle z}$, a proto je vždy reálná a nezáporná. Pro komplexní čtvercovou matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ nemusí být matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {A}}}}$ reálná. Determinant součinu ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {A}}}}$ je nezáporné reálné číslo, protože z věty o součinu determinantů vyplývá:

${\displaystyle \det({\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {A}}})=\det({\boldsymbol {A}})\cdot \det({\bar {\boldsymbol {A}}})=\det({\boldsymbol {A}})\cdot {\overline {\det({\boldsymbol {A}})}}}$ .

Vlastní čísla matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {A}}}}$ jsou buď reálná, nebo tvoří dvojice komplexně sdružených čísel. Matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {A}}}}$ se vyskytuje například při analýze komplexních symetrických matic.

Teorie podobnosti matic vznikla jako výsledek studia lineárních zobrazení vzhledem k různým bázím. Následující ekvivalence (angl. consimilarity^[2][3]) odpovídá analogicky antilineárním zobrazením^(en):

Dvě čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ jsou ekvivalentní, existuje-li regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ taková, že platí:

${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {S}}^{-1}{\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {S}}}}$

Lze ukázat, že uvedený vztah platí pro dvě regulární matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, právě když matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\bar {\boldsymbol {A}}}}$ je podobná matici ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}{\bar {\boldsymbol {B}}}}$.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Konjugierte Matrix na německé Wikipedii a Matrix consimilarity na anglické Wikipedii.

• Lineare Algebra. Příprava vydání Siegfried Bosch. 3. Aufl. vyd. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg 295 s. (Springer Lehrbuch). ISBN 978-3-540-29884-7, ISBN 978-3-540-29885-4. 
• HORN, Roger A.; JOHNSON, Charles R. Topics in matrix analysis. Transferred to digital printing. vyd. Cambridge: Cambridge Univ. Press 607 s. ISBN 978-0-521-46713-1, ISBN 978-0-521-30587-7. 

• Hermitovská matice

• Conjugate Matrix v encyklopedii MathWorld (anglicky)