Kuratowského axiomy uzávěru

Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski,^[1] a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.^[2]

Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.^[3]

Nechť ${\displaystyle X}$ je libovolná množina a ${\displaystyle \wp (X)}$ její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ s následujícími vlastnostmi:

[K1] Zachovává prázdnou množinu: ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$;

[K2] je extenzivní: pro všechny ${\displaystyle A\subseteq X}$, je ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$;
[K3] je idempotentní: pro všechny ${\displaystyle A\subseteq X}$, je ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))}$;

[K4] zachovává binární sjednocení (je vůči němu distributivní): pro všechny ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$.

Důsledkem toho, že ${\displaystyle \mathbf {c} }$ zachovává binární sjednocení, je^[4]

[K4'] je monotonní: ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}$.

Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity):

[K4''] je subaditivní: pro všechny ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$,

pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).

Kuratowski 1966 uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$. Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T₁-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T₁-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).^[5]

Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor.^[6] Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor.^[7] Dvojici ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy ${\displaystyle \mathbf {c} }$ splňuje.

Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:^[8]

[P] Pro všechny ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}$.

Lze dokázat, že axiomy [K1]–[K4] vyplývají z této podmínky:

1. Zvolme ${\displaystyle A=B=\varnothing }$. Pak ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$nebo ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing }$. Z toho okamžitě plyne [K1].
2. Zvolme libovolné ${\displaystyle A\subseteq X}$ a ${\displaystyle B=\varnothing }$. Pak použitím axiomu [K1], ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$, z čehož plyne [K2].
3. Zvolme ${\displaystyle A=\varnothing }$ a libovolné ${\displaystyle B\subseteq X}$. Pak použitím axiomu [K1], ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)}$, což je [K3].
4. Zvolme libovolné ${\displaystyle A,B\subseteq X}$. Použitím axiomů [K1]–[K3] odvodíme [K4].

Monteiro 1945 alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]–[K4]:^[9]

[M] Pro všechny ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$.

Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud ${\displaystyle X\neq \varnothing }$, operátor ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)}$ definovaný přiřazením konstanty ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X}$ splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X}$. Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.

M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]–[K4]:^[2]

[BT] Pro všechny ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$.

Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení ${\displaystyle \mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)}$ vyhovující následujícím požadavkům:^[3]

[I1] Zachovává celý prostor: ${\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}$;

[I2] je intenzivní: pro všechny ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (A)\subseteq A}$;
[I3] je idempotentní: pro všechny ${\displaystyle A\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)}$;

[I4] Zachovává binární průniky: pro všechny ${\displaystyle A,B\subseteq X}$, ${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$.

Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.

Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na ${\displaystyle \wp (X)}$, zobrazení ${\displaystyle \mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)}$ zobrazující ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A}$. Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ je libovolná množina indexů a ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)}$, pak $${\displaystyle \mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).}$$

Použitím těchto zákonů a definičních vlastností ${\displaystyle \mathbf {n} }$ můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ (a ${\displaystyle \mathbf {i} :=\mathbf {ncn} }$). Každý výsledek získaný pomocí ${\displaystyle \mathbf {c} }$ lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace ${\displaystyle \mathbf {n} }$ převést na výsledek používající ${\displaystyle \mathbf {i} }$.

Pervin 1964 dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějšku^[3] a Kuratowského operátory hranice,^[10] který relací ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {ne} }$ a ${\displaystyle \mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)}$ zavádějí také Kuratowského uzávěry.

Všimněte si, že axiomy [K1]–[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci ${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$ na obecném omezeném svazu ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$, formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]–[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.

Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor ${\displaystyle \mathbf {c} :S\to S}$ na libovolné uspořádané množině ${\displaystyle S}$.

Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť ${\displaystyle X}$ je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina ${\displaystyle C\subseteq X}$ je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru ${\displaystyle \mathbf {c} }$, tj. ${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$. Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám:

[T1] je omezený podsvaz ${\displaystyle \wp (X)}$, tj. ${\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T2] je uzavřená vůči libovolným průnikům, tj. pokud ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ je libovolná množina indexů a ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, pak ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$;

[T3] je uzavřená vůči konečný sjednocení, tj. pokud ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ je konečná množina indexů a ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$, pak ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$.

Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )}$.

Opačně, je-li dána rodina ${\displaystyle \kappa }$ vyhovující axiomům [T1]–[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ a ${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}}$ je horní množinou ${\displaystyle A}$ vůči inkluzi, pak $${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B}$$

definuje Kuratowského operátor uzávěru ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$ na ${\displaystyle \wp (X)}$.

Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na ${\displaystyle X}$, a ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]–[T3], pak ${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$ takový, že ${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení ${\displaystyle {\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }}$.

Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ na kolekci ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$ všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$; toto rozšíření ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na ${\displaystyle X}$ indukují také topologii na ${\displaystyle X}$.^[11] To však znamená, že ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ už není bijekcí.

• Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor ${\displaystyle X}$, můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny ${\displaystyle A\subseteq X}$ jako množinu ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ uzavřená podmnožina }}X|A\subseteq C\}}$, tj. průnik všech uzavřených množin ${\displaystyle X}$ které obsahují ${\displaystyle A}$. Množina ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ je nejmenší uzavřenou množinou ${\displaystyle X}$ obsahující ${\displaystyle A}$, a operátor ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ je Kuratowského operátor uzávěru.
• Pokud ${\displaystyle X}$ je jakákoli množina, operátory ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)}$ takové, že $${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),}$$jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$, zatímco druhý zavádí diskrétní topologii ${\displaystyle \wp (X)}$.

• Vezmeme libovolné ${\displaystyle S\subsetneq X}$, a nechť ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)}$ je takové, že ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S}$ pro všechny ${\displaystyle A\in \wp (X)}$. Pak ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}}$ definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]}$ se shoduje s ${\displaystyle S^{\uparrow }}$, rodinou všech podmnožin, které obsahují ${\displaystyle S}$. Když ${\displaystyle S=\varnothing }$, znovu získáme diskrétní topologii ${\displaystyle \wp (X)}$ (tj. ${\displaystyle \mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }}$, jak je vidět z definice).
• Pokud ${\displaystyle \lambda }$ je nekonečné kardinální číslo takové, že ${\displaystyle \lambda \leq \operatorname {crd} (X)}$, pak operátor ${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)}$ takový, že$${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}$$vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům.^[12] Pokud ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$, tento operátor zavádí kofinitní topologii na ${\displaystyle X}$; pokud ${\displaystyle \lambda =\aleph _{1}}$, pak zavádí ko-spočetnou topologii.

• Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle }$, za předpokladu, že chápeme ${\displaystyle \wp (X)}$jako množinu uspořádanou inkluzí, a ${\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ jako uspořádaná podmnožina ${\displaystyle \wp (X)}$. Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ a ${\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$, ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}$ právě tehdy, když ${\displaystyle A\subseteq \iota (C)}$.
• Pokud ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ je podrodina ${\displaystyle \wp (X)}$, pak $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}$$
• Pokud ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$, pak ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}$.

Dvojice Kuratowského uzávěrů ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}$ takových, že ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$ pro všechny ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ indukuje topologii ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$ takovou, že ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$, a naopak. Jinými slovy ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$ dominuje ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$ právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}$.^[13] Například ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}$ jasně dominuje ${\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}$( druhý pouze je identity na ${\displaystyle \wp (X)}$). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí ${\displaystyle \tau _{i}}$ s rodinou ${\displaystyle \kappa _{i}}$ obsahující komplementy všech členů, pokud je na ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ definováno částečné uspořádání ${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$ pro všechny ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ a ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.

V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: ${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$, pro všechny ${\displaystyle B\subseteq A}$.^[14]

Funkce ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$ je spojitá v bodě ${\displaystyle p}$ právě tehdy, když ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$, a všude spojitá právě tehdy, když $${\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}$$ pro všechny podmnožiny ${\displaystyle A\in \wp (X)}$.^[15] Zobrazení ${\displaystyle f}$ je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze,^[16] a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.^[17]

Nechť ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak

• ${\displaystyle X}$ je T₀-prostor právě tehdy, když z ${\displaystyle x\neq y}$ plyne ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})}$;^[18]
• ${\displaystyle X}$ je T₁-prostor právě tehdy, když ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$ pro všechny ${\displaystyle x\in X}$;^[19]
• ${\displaystyle X}$ je T₂-prostor právě tehdy, když z ${\displaystyle x\neq y}$ vyplývá, že existuje množina ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ taková, že ${\displaystyle x\notin \mathbf {c} (A)}$ a zároveň ${\displaystyle y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))}$, kde ${\displaystyle \mathbf {n} }$ je operátor množinového doplňku.^[20]

Bod ${\displaystyle p}$ je blízký k podmnožině ${\displaystyle A}$, pokud ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A).}$ To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.^[21]

Dvě množiny ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ jsou oddělené právě tehdy, když ${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing }$. Prostor ${\displaystyle X}$ je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.^[22]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kuratowski closure axioms na anglické Wikipedii.

• KURATOWSKI, Kazimierz. Sur l'opération A de l'Analysis Situs. [s.l.]: [s.n.] Dostupné online. S. 182–199. (francouzsky) 
• KURATOWSKI, Kazimierz, 1966. Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 0-12-429201-1. 
• PERVIN, William J., 1964. Foundations of General Topology. [s.l.]: Academic Press. Dostupné online. ISBN 9781483225159. 
• ARKHANGEL'SKIJ, A.V.; FEDORCHUK, V.V. General Topology I. Berlin: Springer-Verlag (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). ISBN 978-3-642-64767-3. 
• MONTEIRO, António. Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome. [s.l.]: [s.n.], September 1943. Dostupné online. S. 158–160. (francouzsky) 

• Topologický prostor

• Alternativní charakterizace topologických prostorů