Laplaceova metoda

Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t.}$

Meze ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ mohou nabývat hodnot ${\displaystyle \pm \infty }$.

Čím větší je ${\displaystyle n,}$ tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.^[1]

Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.

Nechť ${\displaystyle g\in C^{2}(\langle a,b\rangle )}$ a existuje ostré minimum ${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$ (tedy ${\displaystyle g'(t_{0})=0}$ a ${\displaystyle g''(t_{0})>0}$). Dále platí ${\displaystyle f(t_{0})\neq 0}$. Pak platí

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}{e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}}}=1}$

nebo v terminologii asymptotické analýzy

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\sim e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\quad {\text{pro }}n\to \infty }$.

Základní myšlenka je následující:^[2]

Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí ${\displaystyle U_{\varepsilon }(t_{0})}$.

Za předpokladu, že ${\displaystyle n}$ je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t&=e^{-ng(t_{0})}\int _{a}^{b}f(t)e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\\&\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Funkci ${\displaystyle g}$ v bodě ${\displaystyle t_{0}}$ vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:

${\displaystyle g(t)=g(t_{0})+g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}+{\mathcal {O}}((t-t_{0})^{3})}$

Tedy můžeme aproximovat

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t_{0})&\approx g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\\&={\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\end{aligned}}}$

Odtud plyne

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t}$

Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze ${\displaystyle \langle -\infty ,\infty \rangle }$ šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od ${\displaystyle t_{0}}$ klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t&\approx f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})s^{2}}\mathrm {d} s\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\\\end{aligned}}}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Methode von Laplace na německé Wikipedii.