Rovnice kývání (synchronního turbosoustrojí)

Elektroenergetická soustava obsahuje několik generátorů pracujících do soustavy za všech provozních podmínek. Za normálních provozních podmínek generátory pracují vzájemně synchronně, tj. relativní poloha osy rotoru generátoru a osy elektromagnetického pole statoru je pevná. Úhel mezi těmito polohami se nazývá zátěžný úhel. Během jakékoli změny elektromagnetického momentu pole statoru rotor zpomaluje nebo zrychluje vzhledem k synchronně rotující magnetomotorické síle ve vzduchové mezeře mezi rotorem a statorem, čímž vytváří relativní pohyb zátěžného úhlu. Rovnice popisující tento pohyb se nazývá rovnice kývání (kmitání), což je obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty druhého řádu.^[1] Předávání mechanického a elektrického výkonu mezi rotorem a sítí v důsledku kývání rotoru (zrychlení a zpomalení) je způsobeno setrvačnou odezvou rotoru turbosoustrojí.

Pro úhlovou rychlost, kolísající okolo své ustálené hodnoty a jí příslušný zátěžný úhel:

${\displaystyle \theta (t)=\omega (\infty )\ t+\delta (t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d}{dt}}\theta (t)=\omega (\infty )+{\frac {d}{dt}}\delta (t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d^{2}}{{dt}^{2}}}\theta (t)={\frac {d^{2}}{{dt}^{2}}}\delta (t)}$

${\displaystyle \Delta \omega (t)\equiv {\frac {d}{dt}}\delta (t)\ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \omega (t)=\omega (\infty )+\Delta \omega (t)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\frac {d}{dt}}\omega (t)={\frac {d^{2}}{{dt}^{2}}}\delta (t)}$

zapišme pohybovou rovnici (D' Alembert) otáčející se hřídele synchronního turbosoustrojí:

${\displaystyle A{\frac {d}{dt}}\omega (t)+B\omega (t)=M_{h}-M_{e}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{h}=M_{m}+B\omega (\infty )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M_{e}=C\sin {\delta (t)}}$

a dosaďme (viz výše):

${\displaystyle A{\frac {d^{2}}{{dt}^{2}}}\delta (t)+B(\omega (\infty )+{\frac {d}{dt}}\delta (t))=M_{m}+B\omega (\infty )-C\sin {\delta (t)}}$

a uvažujme malý úhel:

${\displaystyle A{\frac {d^{2}}{{dt}^{2}}}\delta (t)+B{\frac {d}{dt}}\delta (t)+C\delta (t)=M_{m}}$

a dále předpokládejme:

${\displaystyle 2\alpha \equiv {\frac {B}{A}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \beta ^{2}\equiv {\frac {C}{A}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma \equiv {\frac {M_{m}}{A}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A,B,C>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha ^{2}>\beta ^{2}}$

pak rovnici dostaneme ve tvaru:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dt}^{2}}}\delta (t)+2\alpha {\frac {d}{dt}}\delta (t)+\beta ^{2}\delta (t)=\gamma }$

kde:

${\displaystyle M_{h}}$ - hnací moment

${\displaystyle M_{m}}$ - mechanický moment

${\displaystyle M_{e}}$ - elektromagnetický moment

${\displaystyle A}$ - moment setrvačnosti

${\displaystyle B}$ - tlumící konstanta

${\displaystyle C}$ - synchronizační konstanta

a její charakteristickou rovnici resp. řešení homogenní rovnice resp. řešení rovnice s pravou stranou:

${\displaystyle \lambda ^{2}+2\alpha \lambda +\beta ^{2}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda _{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda _{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$

resp.

${\displaystyle \delta (t)=c_{1}(t)e^{\lambda _{1}t}+c_{2}(t)e^{\lambda _{2}t}}$

resp.

${\displaystyle \delta (t)=k_{1}e^{\lambda _{1}t}+k_{2}e^{\lambda _{2}t}+{\frac {\gamma }{\beta ^{2}}}}$

kde:

${\displaystyle k_{1}={\frac {\lambda _{2}\left(\delta (0)-k_{3}\right)-\Delta \omega (0)}{\left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{2}={\frac {\Delta \omega (0)-\lambda _{1}\left(\delta (0)-k_{3}\right)}{\left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{3}={\frac {\gamma }{\beta ^{2}}}}$

Předpokládejme naopak:

${\displaystyle \beta ^{2}>\alpha ^{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}={\sqrt {-\left(\beta ^{2}-\alpha ^{2}\right)}}\equiv j{\sqrt {\omega _{0}^{2}}}=j\omega _{0}}$

pak nám řešení rovnice s pravou stranou přejde do tvaru:

${\displaystyle \delta (t)=\left(k_{1}e^{j\omega _{0}t}+k_{2}e^{-j\omega _{0}t}\right)\ e^{-\alpha t}+{\frac {\gamma }{\beta ^{2}}}}$

tj.:

${\displaystyle \omega (t)=\omega (\infty )+\Delta \omega (0)\ e^{-\alpha t}\ {\frac {\beta }{\omega _{0}}}\sin \left(\omega _{0}t+\vartheta \right)}$

Uvedené řešení pohybové rovnice je platné za podmínky ${\displaystyle 4AC>B^{2}}$ při nárůstu (${\displaystyle \Delta \omega (0)>0}$) malého zátěžného úhlu ${\displaystyle \delta }$ a v kterém ${\displaystyle \omega _{0}}$ představuje úhlovou frekvenci kývání rotoru.

• Statická a dynamická stabilita
• Elektrický generátor
• Alternátor

• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě