Vnější součin

Vnější součin^[1] je v matematice (n-1)-ární operace násobení vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor kolmý ke všem násobeným vektorům a jeho velikost je rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu násobenými vektory sevřeného.

Mějme aritmetický vektorový prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ s ortonormální bází nad číselným tělesem ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pak pro vektory ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ platí, že vektor ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ je vnějším součinem vektorů ${\displaystyle \mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\bigwedge (\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n})=[(-1)^{1+1}detA_{1},\cdots ,(-1)^{n+1}detA_{n}]}$,

symbolem ${\displaystyle \bigwedge }$ značíme vnější součin a matice ${\displaystyle A_{i}}$ pro ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ vznikly vynecháním i-tého sloupce matice:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{2}{}^{1}&\cdots &v_{2}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}{}^{1}&\cdots &v_{n}{}^{n}\\\end{bmatrix}}}$

kde dolní index označuje index vektoru a horní index označuje index jeho souřadnice vzhledem k dané bázi.

Mějme aritmetický vektorový prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ s kanonickou bází nad číselným tělesem ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pak pro vektory ${\displaystyle \mathbf {z} ,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}}$ platí, že vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$ je vnějším součinem vektorů ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ vzhledem k uvedené bázi, právě když:

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} \times \mathbf {y} =[{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\\\end{vmatrix}},-{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{3}\\y_{1}&y_{3}\\\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\\\end{vmatrix}}]=[x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3},y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}]}$, tj.:

${\displaystyle |\mathbf {z} |^{2}=(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})^{2}+(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})^{2}+(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}(1-cos^{2}\varphi )=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}sin^{2}\varphi }$,

přičemž smíšený součin ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0}$ a ${\displaystyle \mathbf {y} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0}$, tj. vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$ je kolmý na vektory ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a ${\displaystyle \mathbf {y} }$ a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory, tj. vektor ${\displaystyle \mathbf {z} }$ je vektorovým součinem vektorů ${\displaystyle \mathbf {x} }$ a ${\displaystyle \mathbf {y} }$.

• Vektorový součin
• Skalární součin
• Smíšený součin

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Vnější součin na Wikimedia Commons